Tardes de Matemática realizadas no ano lectivo 2002/2003

Tardes de Matemática realizadas no ano lectivo 2003/2004

Tardes disponíveis a realizar no ano lectivo 2003/2004:

As tardes de Matemática terão lugar nas escolas interessadas,
ficando as despesas de deslocação a cargo destas.

Se alguma escola estiver interessada em algum tema que não esteja focado na tabela anterior,
pode contactar a SPM-Centro e serão feitos os possíveis no sentido de encontrar um orador
disponível para apresentar uma sessão sobre o tema pretendido.

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Tardes de Matemática nas Escolas

Dep. Matemática – Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Título: Geometria utilizando Materiais Manipuláveis
Resumo:
No ensino da matemática, a natureza das actividades propostas na sala de aula é uma questão muito importante. Estudos feitos garantem que os alunos que utilizam materiais manipuláveis, têm melhores resultados na construção dos conceitos.
Segundo vários autores, a manipulação de materiais permite aos alunos passarem de um período concreto para um de maior abstracção matemática, levando ao desenvolvimento de conceitos matemáticos. Sendo assim, a aprendizagem matemática deve ser um processo activo.
A utilização de materiais, por si só, não implica uma aprendizagem muito significativa. No entanto, através da manipulação dos materiais, poder-se-á constatar que é possível investigar propriedades, descobrir relações, classificar figuras, etc...
Nesta sessão serão propostas, aos alunos, algumas actividades a ser realizadas com a ajuda de materiais, tais como cubos e triângulos vários. De acordo com o nível de ensino, conceitos como os de área, perímetro, volume, razão de semelhança, entre outros, podem ser explorados.
Objectivos: Pretende-se que os alunos apreendam alguns conceitos de geometria com a ajuda de materiais manipuláveis.

Título: Construção de fractais com papel e tesoura 

Resumo:

O leque de actividades que escolhemos tem por objectivo partilhar com os alunos do 2º e 3º ciclos o prazer e o gosto pela Matemática. Estas actividades constituem desafios, criando momentos de descoberta e de envolvimento na elaboração de conjecturas, confrontando o aluno com uma nova geometria: a Geometria Fractal.

Título: À descoberta dos fractais

Resumo:   

Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos e nem o relâmpago se propaga em linha recta.

E, assim nasceu uma nova geometria, estranha e maravilhosa, cujas formas são irregulares, quebradas, retorcidas: a geometria fractal.

Esta sessão tem por objectivo confrontar os alunos com os objectos fractais, estudando as sucessões dos seus perímetros, áreas e volumes.

Estas actividades destinam-se a alunos dos 11º e 12ºanos de escolaridade.

Título: Algumas Aplicações de Problemas de Optimização Combinatória
Resumo:
Nesta sessão serão abordados alguns modelos matemáticos de optimização combinatória que podem ser formulados em termos de programação linear inteira. Estes modelos consistem na minimização ou maximização de uma função linear satisfazendo um conjunto de restrições lineares, equações ou inequações. Na resolução das várias aplicações foi usado o software LINDO, que é vocacionado para a resolução de problemas de programação matemática.

Nota: A instituição que requerer esta sessão deve indicar o seu contacto electrónico (email) para onde deve ser enviado o material (em formato pdf) para posteriormente ser fotocopiado e entregue a cada participante no inicio de cada sessão.

Título: É fácil, é barato e ... Quais são as chances de dar milhões?
Resumo:
Vamos “brincar” com o cálculo de probabilidades e tentar saber quais são as chances de ganhar um prémio no totoloto. No final seremos capazes de responder à pergunta: Quanto teríamos de gastar para termos a certeza de ganhar o 1º prémio?

Título: Um jogo – Uma questão: Trocar ou não trocar?
Resumo:
Vamos apresentar e discutir um problema interessante onde se coloca a questão de escolha entre trocar ou não trocar. Este problema está relacionado com um jogo de um concurso televisivo conhecido por Jogo do Carro e dos Bodes ou por Jogo das Três Portas. No referido jogo, o jogador tem à sua frente três portas fechadas e sabe que por trás de uma das portas está um carro, enquanto que por trás das restantes duas portas está um bode em cada uma. O jogador escolhe uma porta tendo o direito de ficar com o que se encontra por de trás desta. Obviamente, o jogador pretende ganhar o carro e não um bode. Agora suponhamos que a porta escolhida pelo jogador não é aberta imediatamente. Em vez disso, é aberta uma das outras portas, que revela um bode, e dá-se a oportunidade ao jogador de trocar a porta por ele escolhida pela outra que ainda se encontra fechada. Qual das duas estratégias, trocar ou não trocar, dá ao jogador mais chances de ganhar o carro? A resposta a esta questão gerou uma grande controvérsia aqui há uns anos atrás, pois para uns as chances de ganhar o carro são as mesmas quer o jogador opte por trocar de porta ou não, para outros as chances não são as mesmas, sendo a estratégia mais favorável ao jogador a de trocar de porta, com 2/3 de probabilidade de ganhar o carro. Iremos ver que a resposta a esta questão depende da clarificação de determinados pressupostos relativos às regras do jogo.

Título: Uma introdução à Teoria de Jogos.
Resumo:
A teoria de jogos é um saco de ferramentas matemáticas concebido para ajudar a entender os fenómenos que se observam quando são tomadas decisões que interagem entre si. A base desta teoria é que os decisores procuram objectivos exógenos bem definidos (são racionais) e têm em conta o seu conhecimento ou expectativas sobre o comportamento dos outros decisores (agem estrategicamente). A teoria de jogos usa matemática para expressar as suas ideias formalmente. Não sendo as ideias teóricas do jogo inteiramente matemáticas, a formulação matemática torna mais fácil definir os conceitos com mais rigor, verificar a consistência das ideias, e explorar as implicações dos resultados. Consequentemente, os conceitos e resultados são precisos, interpostos com motivações e interpretações dos conceitos pois, o uso dos modelos matemáticos cria independência entre os interesses matematicamente formalizados.

Objectivo: Entender os modelos da teoria de jogos no âmbito da matemática e obter resultados na classificação, formalização e solução de situações vividas no mundo da empresa e das relações humanas.

Tardes de Matemática nas Escolas

Dep. Matemática – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Título: Histórias do arco-da-velha
Resumo:
Usaremos o princípio do tempo mínimo de Fermat para o caminho percorrido pela luz para derivar as leis da reflexão e da refracção. Posteriormente analisaremos a passagem da luz por uma gota de água para explicar qualitativamente o fenómeno do arco-íris.

Título: As pontes de Königsberg
Resumo:
A cidade de Königsberg é banhada pelo rio Pregel que, ao atravessar a cidade se ramifica formando uma ilha (Kneiphof) que está ligada à restante parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam efectuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não era possível encontrar tal percurso. Será que tinham razão? (ver o texto, versão teórica e alargada, da comunicação em http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/. Eu faço isto de forma muito mais simples).

Título: Alice do outro lado do espelho
Resumo:
A teoria da relatividade tem quase cem anos mas ainda não nos habituamos a ela. Cerca de um século não foi suficiente para alterar os hábitos do nosso pensamento. Durante bastantes anos muitas pessoas viram a teoria como um conto de fadas dos filósofos; outros viram-na como uma espécie de abstracção sem sentido em que os matemáticos gastavam o seu tempo. Mais tarde começamo-nos a aperceber que as ideias complicadas do trabalho de Einstein tinham consequências. Este facto fez com que aumentasse o nosso respeito pela teoria sem, no entanto, nos ajudar a percebê-la.

Neste trabalho pretende-se fazer um percurso pela teoria da relatividade usando conceitos matemáticos muito simples (semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, etc.).

Título: Reflexões (da Lua) em Águas Onduladas
Resumo:
Consideremos um lago muito grande no qual, numa certa noite calma, se reflecte a lua. Porquê é que vemos, enquanto ela estiver baixa, uma fita amarela que se estende até ao horizonte? Enquanto, se estiver mais alta, veremos apenas uma fita curta?

Título: Dissecação de polígonos em triângulos com áreas iguais
Resumo:
É fácil dividir uma quadrado em dois triângulos com áreas iguais, para tal bastando a sua bissecção por uma das diagonais. De um modo geral, podemos dividir um quadrado num qualquer número par 2n de triângulos com áreas iguais: dividimos uma das diagonais em n segmentos de igual comprimento e depois unimos as extremidades desses segmentos às extremidades da outra diagonal. Surge assim naturalmente a seguinte questão: é possível dividir um quadrado num número ímpar de triângulos com áreas iguais? Este problema foi resolvido em 1970 por Paul Monsky. Nesta palestra vamos apresentar a abordagem de Monsky. A partir dela, faremos depois uma digressão sobre o problema da dissecação em triângulos da áreas iguais de outros polígonos além do quadrado.

Título:  Experimentando com Matemática: Geometria
Resumo:
Euclides nao tinha nas suas aulas em Alexandria a abundancia de papel que nos temos. Vamos mostrar como dar solucao a alguns problemas fundamentais de Matematica, por simples dobragem e recortes de folhas de papel.

Título:  Experimentando com Matemática: Tomografia
Resumo:
Explicar os rudimentos de um dos métodos que se utilizam para fazer as tomografias axiais computadorizadas (TAC).

Título:  Experimentando com Matemática: Sucessões recorrentes
Resumo:
O tema das "Sucessões Recorrentes'' é próximo ao curso escolar sobre progressões aritméticas e geométricas. Como exemplos de processos descritos por sucessões recorrentes temos também, as somas das potências de expoente natural k, de n números naturais ou os coeficientes, escritos por ordem crescente das potências de x, do polinómio cociente de dois polinómios cujo grau do numerador é menor do que o do denominador.
Neste tema clássico da Matemática realizaram importantes contribuições, De Moivre, Daniel Bernoulli, Euler, Poincaré, Chebychev e Markov. Infelizmente, este tema tem vindo a ser progressivamente esquecido, ao ponto de quase não ser falado tanto no Ensino Secundário como no Universitário.
O objectivo vai ser o de expor esta teoria de forma que não exija conhecimentos especiais prévios por parte da audiência. Apresentamos exemplos, extraídos de provas de Olimpíadas de Matemática Nacionais e Internacionais, onde o prévio conhecimento deste tema se reveste de grande utilidade.

Título: Historias da Matemática: O diabo dos números
Resumo:
Com alguma frequência nos preocupamos com a resolução de problemas. No entanto, alguns dos problemas mais interessantes de Matemática não têm solução. Propomo-nos falar sobre alguns destes problemas e de algumas teorias matemáticas que se desenvolveram  volta deles.

Título: Projecto Delfos
Resumo:
Convite ao enriquecimento dos conhecimentos em temas de Matematica Elementar, por forma a motivar, desenvolver e potenciar o gosto pela Matematica em Portugal.

Título: Rumo à sociedade da informação geográfica
Resumo:
Recorre-se nesta apresentação a conceitos simples, do ponto de vista matemático, para elucidar a audiência sobre o papel do Engenheiro Geógrafo na aquisição e tratamento do crescente volume de informação geo-referenciada necessários para alicerçar os modernos sistemas de planeamento e desenvolvimento integrados.

Título: Paradoxos clássicos na Teoria das Probabilidades
Resumo:
Nesta exposição descrevem-se alguns paradoxos associados às origens do Cálculo das Probabilidades.

Título: O Princípio da Gaiola de Pombos
Resumo:
O Princípio da Gaiola de Pombos é um princípio de contagem de enunciado muito simples. O enunciado deste Princípio e' o seguinte: Se tivermos n+1 pombos a distribuir por n gaiolas, pelo menos uma das gaiolas ficará com 2 ou mais pombos. Podem deduzir-se algumas consequências interessantes deste Princípio, tais como:

-- Em Lisboa existem pelo menos 2 pessoas com o mesmo número de cabelos.
-- Numa festa de aniversário existem pelo menos duas pessoas que têm na festa o mesmo número de amigos.
 

Tardes de Matemática nas Escolas

Área Interdepartamental de Matemática – Escola Superior de Tecnologia  de Tomar

Título: Zero-Zero-Primos: Licença para Codificar
Resumo:
Durante muito tempo, o estudo dos números primos foi encarado como um jogo intelectual, desprovido de qualquer utilização prática. Actualmente, os números primos desempenham um papel fundamental em alguns dos mais diversos ramos da Ciência, tais como a Matemática (em Teoria de Números, Geometria e Teoria de Grupos, por exemplo) e também a Criptografia, nos sistemas de codificação e descodificação de mensagens (utilizados nomeadamente para fins militares, diplomáticos ou de espionagem). Esta apresentação toma os números primos (e algumas das propriedades, questões e dificuldades associadas a estes números ) como ponto de partida e irá debruçar-se, essencialmente, na aplicação da factorização destes números à Criptografia, através do célebre sistema de codificação R.S.A.

Título: A matemática e o real
Resumo:
Torna-se por vezes necessário descrever, em termos matemáticos, o comportamento de alguns sistemas, ou fenómenos da vida real, quer sejam físicos, sociológicos ou mesmo económicos.
A descrição matemática de um sistema ou fenómeno, é chamada de modelo matemático e este é construído com alguns objectivos em vista.
A apresentação irá debruçar-se, essencialmente, na construção de modelos matemáticos, representados por equações diferenciais. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções desconhecidas, com uma ou mais das suas derivadas.
Irão ser apresentados exemplos muito simples, para que se perceba como alguns modelos são usados para desenvolver a intuição para a informação física que estes contêm.

Título: Números Complexos, Trigonometria e Aplicações
Resumo:
A Trigonometria e os Números Complexos são das noções estudadas ao nível do Ensino Secundário que mais aplicações e mais interesse têm em problemas de várias áreas da Ciência e da Tecnologia. Nesta apresentação tomamos as funções trigonométricas e os números complexos como ponto de partida para a discussão de algumas aplicações concretas, como por exemplo a análise de Sistemas Oscilatórios.

Título: Análise Estatística de Dados Reais: O Desemprego de Activos Qualificados
Resumo:
É nosso objectivo apresentar alguns resultados estatísticos obtidos na análise a dados reais, mostrando, sempre que considerarmos oportuno, como se realizou o tratamento dos dados, usando o package estatístico SPSS. Procuraremos, assim, apresentar algumas das potencialidades do referido software, sem esquecer de alertar para certos cuidados a ter na sua utilização. Com base em informações disponibilizadas por formandos, com qualificações de nível superior, inscritos nos Centros de Emprego de três cidades de uma zona do nosso País, os quais frequentaram acções de Formação para activosQualificados Desempregados - FORDESQ, foi possível efectuar algumas
análises estatísticas muito elementares. As variáveis analisadas foram: idade, sexo, curso que possuem, Instituição onde foi obtido e nível de habilitações literárias. Importa referir que o estudo realizado situa-se, essencialmente, ao nível da Estatística Descritiva. Não obstante, para além da confirmação de alguns resultados, foi ainda possível retirar algumas ilações que consideramos
interessantes.

Título: Tão fácil e tão difícil: O problema do caixeiro viajante
Resumo:
A sua aparente simplicidade poderá levar a pensar-se nele como uma mera curiosidade, porém, este é um problema de grande importância. Com uma história longa, o problema atraiu investigadores dos mais diversos campos do saber e ainda aparece com frequência na produção científica actual. Por curiosidade ou interesse profissional propõe-se que o venha conhecer ou rever.

Título: Matemática e a Bolsa
Resumo:
Pretende esta apresentação abordar alguns conceitos simples da matemática e a sua aplicação nos movimentos aleatórios ocorridos nos mercados. Entre os conceitos a abordar, teremos a interpolação polinomial, tentando desta forma obter uma aproximação ao comportamento do activo em causa através de uma função polinomial. O declive dessa mesma curva pode ser interpretado como a velocidade desse movimento, e assim tentar perceber quando a velocidade desse movimento está a aumentar/diminuir. O conhecimento de extremos relativos é importante para a definição do fenómeno de "tendência dos mercados", e será também abordado.

Título: Curvas que se encontram com pontos
Resumo:
A partir de uma função ou de um conjunto finito de dados, podem ser construídas funções com determinadas características, que se "ajustam" a esses dados. Através dessas funções obtêm-se estimativas para valores intermédios compreendidos entre os pontos conhecidos. O objectivo desta apresentação será descrever alguns métodos numéricos que permitem obter as curvas referidas acima e também, apresentar aplicações desta técnica à resolução de alguns problemas de engenharia.

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