Tardes
de Matemática realizadas no ano lectivo 2002/2003
Tardes
de Matemática realizadas no ano lectivo 2003/2004
Tardes disponíveis
a realizar no ano lectivo 2003/2004:
As
tardes de Matemática terão lugar nas escolas interessadas,
ficando as despesas
de deslocação a cargo destas.
Se alguma escola estiver
interessada em algum tema que não esteja focado na tabela anterior,
pode
contactar a SPM-Centro e serão feitos os possíveis no sentido de encontrar um
orador
disponível para apresentar uma sessão sobre o tema pretendido.
Contactos:
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Tardes de Matemática nas Escolas
Dep. Matemática –
Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Título: Geometria
utilizando Materiais Manipuláveis
Resumo:
No ensino da matemática, a
natureza das actividades propostas na sala de aula é uma questão muito
importante. Estudos feitos garantem que os alunos que utilizam materiais
manipuláveis, têm melhores resultados na construção dos conceitos.
Segundo vários autores, a
manipulação de materiais permite aos alunos passarem de um período concreto para
um de maior abstracção matemática, levando ao desenvolvimento de conceitos
matemáticos. Sendo assim, a aprendizagem matemática deve ser um processo activo.
A utilização de materiais, por
si só, não implica uma aprendizagem muito significativa. No entanto, através da
manipulação dos materiais, poder-se-á constatar que é possível investigar
propriedades, descobrir relações, classificar figuras, etc...
Nesta sessão serão propostas,
aos alunos, algumas actividades a ser realizadas com a ajuda de materiais, tais
como cubos e triângulos vários. De acordo com o nível de ensino, conceitos como
os de área, perímetro, volume, razão de semelhança, entre outros, podem ser
explorados.
Objectivos: Pretende-se que os alunos apreendam
alguns conceitos de geometria com a ajuda de materiais manipuláveis.
Título:
Construção de fractais
com papel e tesoura
Resumo:
O leque de actividades que escolhemos tem por
objectivo partilhar com os alunos do 2º e 3º ciclos o prazer e o gosto pela
Matemática. Estas actividades constituem desafios, criando momentos de
descoberta e de envolvimento na elaboração de conjecturas, confrontando o aluno
com uma nova geometria: a Geometria Fractal.
Título: À descoberta dos fractais
Resumo:
Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são
círculos e nem o relâmpago se propaga em linha recta.
E, assim nasceu uma nova geometria, estranha e maravilhosa, cujas formas são
irregulares, quebradas, retorcidas: a geometria fractal.
Esta sessão tem por objectivo confrontar os alunos com os objectos fractais,
estudando as sucessões dos seus perímetros, áreas e volumes.
Estas actividades destinam-se a alunos dos 11º e 12ºanos de escolaridade.
Título:
Algumas Aplicações de Problemas de Optimização Combinatória
Resumo:
Nesta sessão serão abordados
alguns modelos matemáticos de optimização combinatória que podem ser formulados
em termos de programação linear inteira. Estes modelos consistem na minimização
ou maximização de uma função linear satisfazendo um conjunto de restrições
lineares, equações ou inequações. Na resolução das várias aplicações foi usado o
software LINDO, que é vocacionado para a resolução de problemas de programação
matemática.
Nota: A instituição que
requerer esta sessão deve indicar o seu contacto electrónico (email) para onde
deve ser enviado o material (em formato pdf) para posteriormente ser fotocopiado
e entregue a cada participante no inicio de cada sessão.
Título:
É fácil, é barato e ... Quais são as chances de dar
milhões?
Resumo:
Vamos “brincar” com o cálculo
de probabilidades e tentar saber quais são as chances de ganhar um prémio no
totoloto. No final seremos capazes de responder à pergunta: Quanto teríamos de
gastar para termos a certeza de ganhar o 1º prémio?
Título:
Um jogo – Uma questão: Trocar ou não trocar?
Resumo:
Vamos
apresentar e discutir um problema interessante onde se coloca a questão de
escolha entre trocar ou não trocar. Este problema está relacionado com um jogo
de um concurso televisivo conhecido por Jogo do Carro e dos Bodes ou por Jogo
das Três Portas. No referido jogo, o jogador tem à sua frente três portas
fechadas e sabe que por trás de uma das portas está um carro, enquanto que por
trás das restantes duas portas está um bode em cada uma. O jogador escolhe uma
porta tendo o direito de ficar com o que se encontra por de trás desta.
Obviamente, o jogador pretende ganhar o carro e não um bode. Agora suponhamos
que a porta escolhida pelo jogador não é aberta imediatamente. Em vez disso, é
aberta uma das outras portas, que revela um bode, e dá-se a oportunidade ao
jogador de trocar a porta por ele escolhida pela outra que ainda se encontra
fechada. Qual das duas estratégias, trocar ou não trocar, dá ao jogador mais
chances de ganhar o carro? A resposta a esta questão gerou uma grande
controvérsia aqui há uns anos atrás, pois para uns as chances de ganhar o carro
são as mesmas quer o jogador opte por trocar de porta ou não, para outros as
chances não são as mesmas, sendo a estratégia mais favorável ao jogador a de
trocar de porta, com 2/3 de probabilidade de ganhar o carro. Iremos ver que a
resposta a esta questão depende da clarificação de determinados pressupostos
relativos às regras do jogo.
Título:
Uma introdução à Teoria de Jogos.
Resumo:
A teoria de jogos é um saco de
ferramentas matemáticas concebido para ajudar a entender os fenómenos que se
observam quando são tomadas decisões que interagem entre si. A base desta teoria
é que os decisores procuram objectivos exógenos bem definidos (são racionais) e
têm em conta o seu conhecimento ou expectativas sobre o comportamento dos outros
decisores (agem estrategicamente). A teoria de jogos usa matemática para
expressar as suas ideias formalmente. Não sendo as ideias teóricas do jogo
inteiramente matemáticas, a formulação matemática torna mais fácil definir os
conceitos com mais rigor, verificar a consistência das ideias, e explorar as
implicações dos resultados. Consequentemente, os conceitos e resultados são
precisos, interpostos com motivações e interpretações dos conceitos pois, o uso
dos modelos matemáticos cria independência entre os interesses matematicamente
formalizados.
Objectivo: Entender os
modelos da teoria de jogos no âmbito da matemática e obter resultados na
classificação, formalização e solução de situações vividas no mundo da empresa e
das relações humanas.
Tardes de Matemática nas Escolas
Dep. Matemática –
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Título: Histórias do
arco-da-velha
Resumo:
Usaremos o princípio do tempo
mínimo de Fermat para o caminho percorrido pela luz para derivar as leis da
reflexão e da refracção. Posteriormente analisaremos a passagem da luz por uma
gota de água para explicar qualitativamente o fenómeno do arco-íris.
Título: As pontes de
Königsberg
Resumo:
A cidade de Königsberg é
banhada pelo rio Pregel que, ao atravessar a cidade se ramifica formando uma
ilha (Kneiphof) que está ligada à restante parte da cidade por sete pontes.
Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam
efectuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas
uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles
acreditavam que não era possível encontrar tal percurso. Será que tinham razão?
(ver o texto, versão teórica e alargada, da comunicação em
http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/. Eu faço isto de forma
muito mais simples).
Título: Alice do outro lado do
espelho
Resumo:
A teoria da relatividade tem quase
cem anos mas ainda não nos habituamos a ela. Cerca de um século não foi
suficiente para alterar os hábitos do nosso pensamento. Durante bastantes anos
muitas pessoas viram a teoria como um conto de fadas dos filósofos; outros
viram-na como uma espécie de abstracção sem sentido em que os matemáticos
gastavam o seu tempo. Mais tarde começamo-nos a aperceber que as ideias
complicadas do trabalho de Einstein tinham consequências. Este facto fez com que
aumentasse o nosso respeito pela teoria sem, no entanto, nos ajudar a
percebê-la.
Neste trabalho pretende-se
fazer um percurso pela teoria da relatividade usando conceitos matemáticos muito
simples (semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, etc.).
Título: Reflexões (da Lua) em
Águas Onduladas
Resumo:
Consideremos um lago muito grande no qual, numa certa noite calma, se reflecte
a lua. Porquê é que vemos, enquanto ela estiver baixa, uma fita amarela que se
estende até ao horizonte? Enquanto, se estiver mais alta, veremos apenas uma
fita curta?
Título: Dissecação de
polígonos em triângulos com áreas iguais
Resumo:
É fácil dividir uma quadrado em
dois triângulos com áreas iguais, para tal bastando a sua bissecção por uma das
diagonais. De um modo geral, podemos dividir um quadrado num qualquer número par
2n de triângulos com áreas iguais: dividimos uma das diagonais em n
segmentos de igual comprimento e depois unimos as extremidades desses segmentos
às extremidades da outra diagonal. Surge assim naturalmente a seguinte questão:
é possível dividir um quadrado num número ímpar de triângulos com áreas iguais?
Este problema foi resolvido em 1970 por Paul Monsky. Nesta palestra vamos
apresentar a abordagem de Monsky. A partir dela, faremos depois uma digressão
sobre o problema da dissecação em triângulos da áreas iguais de outros polígonos
além do quadrado.
Título:
Experimentando com Matemática: Geometria
Resumo:
Euclides nao tinha nas suas aulas em
Alexandria a abundancia de papel que nos temos. Vamos mostrar como dar solucao a
alguns problemas fundamentais de Matematica, por simples dobragem e recortes de
folhas de papel.
Título: Experimentando
com Matemática: Tomografia
Resumo:
Explicar os rudimentos de um dos métodos que se utilizam para fazer as
tomografias axiais computadorizadas (TAC).
Título: Experimentando
com Matemática: Sucessões recorrentes
Resumo:
O tema das "Sucessões
Recorrentes'' é próximo ao curso escolar sobre progressões aritméticas e
geométricas. Como exemplos de processos descritos por sucessões recorrentes
temos também, as somas das potências de expoente natural k, de
n números naturais ou os coeficientes, escritos por ordem crescente
das potências de x, do polinómio cociente de dois polinómios cujo
grau do numerador é menor do que o do denominador.
Neste tema clássico da Matemática realizaram importantes contribuições, De
Moivre, Daniel Bernoulli, Euler, Poincaré, Chebychev e Markov. Infelizmente,
este tema tem vindo a ser progressivamente esquecido, ao ponto de quase não ser
falado tanto no Ensino Secundário como no Universitário.
O objectivo vai ser o de expor esta teoria de forma que não exija conhecimentos
especiais prévios por parte da audiência. Apresentamos exemplos, extraídos de
provas de Olimpíadas de Matemática Nacionais e Internacionais, onde o prévio
conhecimento deste tema se reveste de grande utilidade.
Título: Historias
da Matemática: O diabo dos números
Resumo:
Com alguma frequência nos
preocupamos com a resolução de problemas. No entanto, alguns dos problemas mais
interessantes de Matemática não têm solução. Propomo-nos falar sobre alguns
destes problemas e de algumas teorias matemáticas que se desenvolveram volta
deles.
Título: Projecto
Delfos
Resumo:
Convite ao enriquecimento dos
conhecimentos em temas de Matematica Elementar, por forma a motivar, desenvolver
e potenciar o gosto pela Matematica em Portugal.
Título: Rumo à
sociedade da informação geográfica
Resumo:
Recorre-se nesta apresentação a conceitos
simples, do ponto de vista matemático, para elucidar a audiência sobre o papel
do Engenheiro Geógrafo na aquisição e tratamento do crescente volume de
informação geo-referenciada necessários para alicerçar os modernos sistemas de
planeamento e desenvolvimento integrados.
Título: Paradoxos
clássicos na Teoria das Probabilidades
Resumo:
Nesta exposição descrevem-se
alguns paradoxos associados às origens do Cálculo das Probabilidades.
Título: O Princípio da Gaiola
de Pombos
Resumo:
O Princípio da Gaiola de Pombos
é um princípio de contagem de enunciado muito simples. O enunciado deste
Princípio e' o seguinte: Se tivermos n+1 pombos a distribuir por n gaiolas, pelo
menos uma das gaiolas ficará com 2 ou mais pombos. Podem deduzir-se algumas
consequências interessantes deste Princípio, tais como:
-- Em Lisboa existem pelo menos
2 pessoas com o mesmo número de cabelos.
-- Numa festa de aniversário existem pelo menos duas pessoas que têm na festa o
mesmo número de amigos.
Tardes de Matemática nas Escolas
Área
Interdepartamental de Matemática – Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Título:
Zero-Zero-Primos: Licença para Codificar
Resumo:
Durante muito tempo, o
estudo dos números primos foi encarado como um jogo intelectual, desprovido de
qualquer utilização prática. Actualmente, os números primos desempenham um papel
fundamental em alguns dos mais diversos ramos da Ciência, tais como a Matemática
(em Teoria de Números, Geometria e Teoria de Grupos, por exemplo) e também a
Criptografia, nos sistemas de codificação e descodificação de mensagens
(utilizados nomeadamente para fins militares, diplomáticos ou de espionagem).
Esta apresentação toma os números primos (e algumas das propriedades, questões e
dificuldades associadas a estes números ) como ponto de partida e irá
debruçar-se, essencialmente, na aplicação da factorização destes números à
Criptografia, através do célebre sistema de codificação R.S.A.
Título: A matemática e o real
Resumo:
Torna-se por vezes necessário
descrever, em termos matemáticos, o comportamento de alguns sistemas, ou
fenómenos da vida real, quer sejam físicos, sociológicos ou mesmo económicos.
A descrição matemática de um
sistema ou fenómeno, é chamada de modelo matemático e este é construído com
alguns objectivos em vista.
A apresentação irá
debruçar-se, essencialmente, na construção de modelos matemáticos, representados
por equações diferenciais. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona
uma ou mais funções desconhecidas, com uma ou mais das suas derivadas.
Irão ser apresentados exemplos
muito simples, para que se perceba como alguns modelos são usados para
desenvolver a intuição para a informação física que estes contêm.
Título: Números Complexos,
Trigonometria e Aplicações
Resumo:
A Trigonometria e os Números
Complexos são das noções estudadas ao nível do Ensino Secundário que mais
aplicações e mais interesse têm em problemas de várias áreas da Ciência e da
Tecnologia. Nesta apresentação tomamos as funções trigonométricas e os números
complexos como ponto de partida para a discussão de algumas aplicações
concretas, como por exemplo a análise de Sistemas Oscilatórios.
Título:
Análise Estatística de Dados Reais: O Desemprego de Activos
Qualificados
Resumo:
É nosso objectivo apresentar alguns
resultados estatísticos obtidos na análise a dados reais, mostrando, sempre que
considerarmos oportuno, como se realizou o tratamento dos dados, usando o
package estatístico SPSS. Procuraremos, assim, apresentar algumas das
potencialidades do referido software, sem esquecer de alertar para certos
cuidados a ter na sua utilização. Com base em informações disponibilizadas por
formandos, com qualificações de nível superior, inscritos nos Centros de Emprego
de três cidades de uma zona do nosso País, os quais frequentaram acções de
Formação para activosQualificados Desempregados - FORDESQ, foi possível efectuar
algumas
análises estatísticas muito elementares. As variáveis analisadas foram: idade,
sexo, curso que possuem, Instituição onde foi obtido e nível de habilitações
literárias. Importa referir que o estudo realizado situa-se, essencialmente, ao
nível da Estatística Descritiva. Não obstante, para além da confirmação de
alguns resultados, foi ainda possível retirar algumas ilações que consideramos
interessantes.
Título: Tão fácil
e tão difícil: O problema do caixeiro viajante
Resumo:
A sua aparente simplicidade poderá levar a pensar-se nele
como uma mera curiosidade, porém, este é um problema de grande importância. Com
uma história longa, o problema atraiu investigadores dos mais diversos campos do
saber e ainda aparece com frequência na produção científica actual. Por
curiosidade ou interesse profissional propõe-se que o venha conhecer ou rever.
Título: Matemática e a Bolsa
Resumo:
Pretende esta apresentação abordar alguns conceitos simples
da matemática e a sua aplicação nos movimentos aleatórios ocorridos nos
mercados. Entre os conceitos a abordar, teremos a interpolação polinomial,
tentando desta forma obter uma aproximação ao comportamento do activo em causa
através de uma função polinomial. O declive dessa mesma curva pode ser
interpretado como a velocidade desse movimento, e assim tentar perceber quando a
velocidade desse movimento está a aumentar/diminuir. O conhecimento de extremos
relativos é importante para a definição do fenómeno de "tendência dos mercados",
e será também abordado.
Título: Curvas que se
encontram com pontos
Resumo:
A partir de uma função ou
de um conjunto finito de dados, podem ser construídas funções com determinadas
características, que se "ajustam" a esses dados. Através dessas funções obtêm-se
estimativas para valores intermédios compreendidos entre os pontos conhecidos. O
objectivo desta apresentação será descrever alguns métodos numéricos que
permitem obter as curvas referidas acima e também, apresentar aplicações desta
técnica à resolução de alguns problemas de engenharia.
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